Scientific Information

زندگي تكثير ثروتی است كه نامش محبت است

قانون گاوس
ساعت ٩:٠٠ ‎ب.ظ روز شنبه ٢۸ دی ۱۳۸٧  

قانون گاوس

در فیزیک، قانون گاوس قانونی‌ست که رابطه میان بار الکتریکی و میدان الکتریکی را بیان می‌کند و یکی از معادلات ماکسول است. این معادلات در ۱۸۳۵ توسط کارل فردریش گاوس فرمول‌بندی شد ولی تا ۱۸۶۷ ارائه نشد. این معادلات دو فرم دیفرانسیلی و انتگرالی دارد و معادلاتی نظیر این برای میدان گرانشی و میدان مغناطیسی نیز وجود دارد.

فرم انتگرالی

در دستگاه واحدهای SI فرم انتگرالی قانون گاوس چنین است:

{\Phi} = \oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}  = {1 \over \varepsilon_0} \int_V \rho\ \mathrm{d}V = \frac{Q_A}{\varepsilon_0}

که در آن:

  • {\Phi}\; شار الکتریکی،
  • E\; میدان الکتریکی،
  • \mathrm{d}\mathbf{A} دیفرانسیل سطح در سطح بسته S\; در جهت بردار نرمال آن است.

در طرف دیگر:

  • \rho\; چگالی بار الکتریکی در حجم V\;،
  • \mathrm{d}V\; دیفرانسیل حجم،
  • \varepsilon_0 ثابت گذردهی خلاء است.

که نتیجه آن برابر است با مقدار بار الکتریکی محصور در سطح S\; بر ثابت گذردهی خلاء: \frac{Q_A}{\varepsilon_0}

 فرم دیفرانسیلی

فرم دیفرانسیلی قانون گاوس در دستگاه واحدهای SI چنین است:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}

که در آن \mathbf{\nabla} عملگر مشتق (عملگر دِل) است که به صورت دیورژانس بر روی چگالی شار الکتریکی \mathbf{D} عمل می‌کند و نتیجه آن چگالی بار الکتریکی آزاد است.

در مواد خطی که \varepsilon \mathbf{E} = \mathbf{D} فرم دیفرانسیلی قانون گاوس به صورت کاربردی‌تر زیر در می‌آید:

\mathbf{\nabla} \cdot \varepsilon \mathbf{E} = \rho_{\mathrm{free}}

 قانون کولن

به طور خاص، در مواردی که با بار نقطه‌ای مواجه‌ایم قانون گاوس به شکل ساده‌تری که مشابه قانون عکس مجذور فاصلهٔ کولن است درمی‌آید:

E = \frac{1}{\varepsilon_0}\frac{Q}{4 \pi r^2}

که در آن r\; فاصله از مرکز بار است.


زادروز: 30 آوریل 1777 میلادی (11 اردیبهشت 1155 خورشیدی)

زادگاه: Deutschland, Braunschweig (برانشوایگ آلمان)

درگذشت: 23 فوریه ی 1855 میلادی ( 4 اسفند 1234 خورشیدی)

پیشه: ریاضی دان، دانشمند، نقشه کش

ملیت: آلمانی

کوتاه ترین توصیف درباره ی او:

بزرگ ترین ریاضی دان آلمانی است، و به عنوان یکی از برترین ریاضی دانان همه دوران شناخته شده است، و شاید بتوان گفت که برترین آنهاست. 

 

روزگار کودکی

گاوس، این ریاضی دان آلمانی، در خانواده ای محروم، در شهر برانشوایگ زاده شد. گفته می شود که هوش سرشار او زمانی آشکار شد که در سه سالگی اشتباهی را که پدرش در محاسبه ی دارایی ها، بر روی کاغذ، انجام داده بود در ذهنش درست کرد. داستان دیگری که درباره ی هوش بسیار او گفته می شود آن است که آموزگارش، در دبستان، برای سرگرم کردن شاگردان به آنان گفت شماره های 1 تا 100 را با هم جمع کنند؛ گاوس خردسال پاسخ درست را در چند ثانیه با به کارگیری یک بینش ریاضیاتی چشمگیر به دست آورد. رهیافتی که او به کار بست چنین بود: او دانست که با جمع کردن دو به دوی عبارت ها از دو سر فهرست شماره ها پاسخ هر یک از این جمع ها برابر خواهد شد:

1+100=101, 2+99=101, 3+98=101,  …

برای جمع کل هم خواهیم داشت:

50*101=5050

 

میان سالی

گاوس در پایان نامه ی سال 1799 خود اثباتی بر قضیه ی بنیادین جبر ارائه کرد. این قضیه ی مهم می گوید که "هر چندجمله ای درجه ی n، با به شمار آوردن ریشه های تکراری، دارای n جواب است".

آوازه ی او با انتشار Disquisitiones Arithmeticae (مقاله های حساب) در 25 سالگیش بسیار افزایش یافت. در سال 1807 به استادی رصدخانه و دانشگاه "گوتینگن" دست یافت و تا پایان زندگیش این سِمت را در دست داشت. مقاله ی "نظریه ی حرکت اجرام آسمانیِ در حال حرکت در مقاطعی مخروطی پیرامون خورشید" را در سال 1809، در هامبورگ، منتشر کرد؛ مقاله ای که انگیزشی قوی را برای روش های درست مشاهده های اخترشناسی به دست داد. مقاله های اخترشناسی، مشاهده ها، محاسبه های مدار سیاره ها و ستاره های دنباله دار و ... او همچنانکه بیشمارند بسیار ارزشمند نیز هستند.

توانمندی مغز گاوس در محاسبه بسیار شگفت انگیز بود. مشهور است هنگامی که از او پرسیدند چگونه می تواند مسیر حرکت سیارک سِرِس را با این دقت پیشگویی کند، او پاسخ داد "لگاریتم ها را به کار می برم". پرسشگر خواست بداند که او چگونه شمار بسیاری از عددها را می تواند از جدول ها چنین سریع ببیند و بخواند. گاوس پاسخ داد " به آن ها نگاه کنم؟ چه کسی نیاز دارد به آن ها نگاه کند؟ من آن ها در در ذهنم محاسبه می کنم"!

گاوس ادعا کرد که امکان هندسه ی نااقلیدسی را کشف کرده است ولی هرگز آن را منتشر ننمود. این یافته ی او یک جهش کلیدی در دانش ریاضی بود چنانکه ریاضیدانان را از این باور نادرست که اصل های اقلیدسی تنها راه پایداری هندسه هستند رهانید. پژوهش در این دامنه از هندسه، ما را به سوی نظریه ی نسبیت عمومی آینِشتاین راه می نمایاند، نظریه ای که جهان را بر پایه ی هندسه ی نااقلیدسی شرح می دهد.

 

او تلاش خود را در زمینه ی "نظریه ی اعداد" و موضوع های تحلیلی دیگر پی گرفت و مقاله های بسیاری را برای Königliche Gesellschaft der Wissenschaften (انجمن پادشاهی علوم) در گوتینگن فرستاد.

 

 

کهن سالی، مرگ و پس از آن

 نخستین مقاله ی او در زمینه ی الکترومغناطیس در سال 1833 میلادی چاپ شد. پس از زمانی کوتاه، تا مدت ها با Wilhelm Weber، فیزیکدان نامدار، برای ساخت دستگاه نوین مشاهده ی مغناطیس زمین و دگرگونی های آن، در ارتباط بود. ابزارهایی که آنان ساختند "دستگاه انحراف مغناطیسی" و "مغناطیس سنج bifilar" بود. با یاری وبر، در سال 1833 در گوتنگین، یک رصدخانه ی مغناطیس که در ساختارش هیچ قطعه ی آهنی نبود ساخت و در آن مشاهده های مغناطیسی را انجام داد؛ و از همین رصدخانه سیگنال های تلگرافی را به شهرک های پیرامون فرستاد و بدین گونه عملی بودن تلگراف الکترومغناطیسی را نشان داد. افزون بر این ها، او یک انجمن با نام Magnetischer Verein (انجمن مغناطیسی) را بنیاد نهاد که در نوع خود در آلمان برای نخستین بار بوده است. او یک روش اندازه گیری شدت میدان مغناطیسی افقی را گسترش داد که در نیمه ی دوم سده ی بیستم به کار می رفته است و نظریه ی ریاضی برای جداسازی منابع درونی (هسته و پوسته) و بیرونی (مغناطیس-سپهر) میدان مغناطیسی زمین را حل کرد. مقاله های Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins (نتایج انجمن های مشاهده های مغناطیسی) از سال 1836 تا 1839 منتشر شدند که، در این میان، در سال های 1838 و 1839 دو مقاله ی بسیار ارزشمند گاوس منشر شد:

Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (نیروی مغناطیسی کلی زمین)

و Allgemeine Lehrsatz (قضیه ی عمومی) که درباره ی نظریه ی "نیروهای ربایشی مطابق با معکوس توان دوم فاصله" است.

 

ابزار ها و روش هایی که بدین گونه منسوب به اوست در مشاهده های مغناطیسی در سراسر جهان به کار گرفته می شوند. از دیگر کارهای او همکاری در اندازه گیری های "هانوفری- دانمارکی" درباره ی عملیات مثلثاتی و کمانی بود (1821 – 1848)؛ همچنین دو مقاله را با عنوان Über Gegenstände der höheren Geodäsie (درباره ی  موضوع برترین نقشه برداری) در سال های 1843 و 1846 منتشر کرد و نیز چندین و چند مقاله ی دیگر.

گاوس در زمینه های گوناگون ریاضی اعم از جبر، هندسه، و حساب دیفرانسیل و انتگرال نوآفرینی های بنیادین بسیاری را ارایه کرده است. گاوس چنین باور داشت که ریاضی باید بازتابی از جهان واقع باشد؛ با این باور، نوآفرینی های او نقشی بنیادین در پیشبرد دانش ریاضی داشته است.

 

گاوس در ادبیات بسیار چیره دست بود و نیز زبان های مهم اروپایی نوین را به خوبی می دانست. او همچنین هموَند "انجمن دانش های پیشرو در اروپا" بود.

 او در 23 فوریه ی 1855 در گوتینگن درگذشت. جشن صد سالگی او در سال 1877 در زادگاهش برانشوایگ برگزار شد.

 

کارها و پژوهش های گاوس از سوی "انجمن پادشاهی علوم" گوتینگن در سال های 1863 تا 1871 در هفت جلد گردآوری شد که نویسنده ی آن ها E. J. Schering بوده است؛ نام آن کتاب ها از این قرارند:

1. مقاله های حساب (Disquisitiones Arithmeticae)

2. نظریه ی اعداد

3. تحلیل ریاضی

4. هندسه و روش کم ترین مجذورات

5. فیزیک ریاضیاتی (Mathematical Physics)

6. اخترشناسی

7. نظریه ی حرکت اجرام آسمانی

 

بیشتر نوشتارهای ریاضی محض او در جلدهای دوم و سوم و چهارم جای دارند (که باید "ربایش"را که در جلد پنجم است به این ها بیفزاییم).

 

بعدها چند جلد دیگر هم افزون بر این ها چاپ شد:

Funamente der Geometrie usw  (بنیاد هندسه ) (1900)

و Geodatische Nachträge zu Band IV  (1903)

 

که آن ها افزون بر آن که دربردارنده ی کارهای گوناگون، مقاله ها، نقدها و یادداشت هایی درباره ی نوشته های خودش و نیز نوشته های دیگران در Göttingen gelehrte Anzeigen (اسناد دانش آموختگان گوتینگن) بود، مقدار چشمگیری از موضوع ها و نوشتارهای چاپ نشده ی پیشین را نیز دربرداشت، Nachlass (دارایی شخص مرده).

 

زندگی خانوادگی

زندگی شخصی گاوس در سایه ی مرگ زودهنگام نخستین همسرش، Johanna Osthoff، در سال 1809 میلادی و در پی آن مرگ پسر یک ساله اش لوییس، در سال 1810، تاریک شده بود. این رویدادها گاوس را به چنان افسردگی فرو برد که هرگز نتوانست از آن رهایی یابد.

او با یکی از دوستان همسرش که Friederica Wilhelmine Waldeck (Minna) نام داشت ازدواج کرد، ولی این ازدواج دوم هم چندان فرخنده نبود. هنگامی که همسر دومش در سال 1831 میلادی، پس از یک بیماری طولانی، درگذشت یکی از دخترانش، Therese، نگهداری خانه و پرستاری از گاوس را تا پایان زندگی او پذیرفت.

گاوس شش فرزند داشت، سه فرزند از هر یک از همسرانش. از یوآنا : Joseph (1806–1873)، Wilhelmina (1808–1846) و Louis (1809–1810). از میان همه ی فرزندان، ویلهلمینا را می توان وارث تمام و کمال هوش گاوس دانست ولی مرگ او در جوانی روی داد. از مینا والدک: Eugene (1811–1896)، Wilhelm (1813–1879) و Therese (1816–1864). اویگِنه پس از کشمکشی که با پدرش داشت در سال 1832 میلادی به آمریکا مهاجرت کرد. ویلهلم هم به کشاورزی پرداخت و پس از آن یک بازرگان موفق کفش شد. ترزه هم  ازدواج کرد و تا پایان زندگی گاوس از او پرستاری کرد.

 

منش و شخصیت

گاوس به کمال در اخلاق و انسانیت باور داشت و نیز بسیار کوشا بود. او بسیار کم به نشر کارهایش می پرداخت چرا که از انتشار کارهایی که رسیدگی و ویرایش نشده اند سر باز می زد، که این هم هماهنگ با شعار "کم ولی پربار" اوست. پس از خواندن دفترچه یادداشت او آشکار شد که در واقع چندین و چند مفهوم ریاضی بسیار با ارزش را سال ها و یا حتی چند دهه پیش از آن که از سوی معاصران او منتشر شود یافته است. تاریخ نویس نامدار ریاضی، Eric Temple Bell، برآورد کرد که اگر گاوس همه ی آنچه را که می دانست آشکار می کرد دانش ریاضی 50 سال پیش می افتاد. (Bell, 1937)

از سوی دیگر، گاوس را از آنجا که از ریاضیدانان جوانی که خواهان پیروی از او بودند پشتیبانی نمی کرد نکوهش می کنند. او بسیار کم، و شاید هرگز، با ریاضیدان دیگری همکاری نکرد. گرچه گاوس چند دانشجو را پذیرفت ولی همه بیزاری او از تدریس را می دانستند (گفته شده است که او تنها در یک سخنرانی علمی حضور داشت، که در سال 1828 میلادی در برلین برگزار شد). به هر روی، چندین تن از دانشجویان او ریاضیدانانی نامدار شدند کهRichard Dedekind ، Bernhard Riemann، و Friedrich Bessel از آن دسته بودند. پیش از مرگ Sophie Germain، گاوس اعطای مدرک افتخاری به ژرمااین را پیشنهاد داد.