Scientific Information

زندگي تكثير ثروتی است كه نامش محبت است

معادله سیاله خطی و مربع عدد مضرب 3
ساعت ۱:٥٦ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ۱٧ فروردین ۱۳٩٠  

معادله  3x+6y = a2+2 به ازاء چند مقدار a  از مجموعه {20,...1,2,3} جواب دارد؟

نکته اول :معادله سیاله خطی فوق وقتی جواب دارد که بزرگترین مقسوم علیه مشترک 3 و 6 عدد a2+2 را بشمارد.

بنابراین
                           M = (3,6) = 3  -->  3|a
2+2  -->  a2
+2 = 3k

و یا
                                                  a
2 = 3k - 2  -->  a2
= 3k+1

 بنابراین مربع عدد مورد نظر از میان این بیست عدد باید به شکل 3k+1 باشد.

نکته دوم : مربع هر عدد غیر مضرب 3 به شکل 3k+1 است.

اثبات

                                       if  a=3k  -->  a2 = 9k2  -->  a2 = 3k

                            if  a=3k+1 --> a2=9k2+6k+1 --> a2=3k+1

                          if  a=3k+2 --> a2=9k2+12k+4 --> a2=3k+1

بنابراین از آنجاییکه از این بیست عدد [20/3]=6 تا مضرب 3 هستند جواب مورد نظر 14 عدد است.