Scientific Information

زندگي تكثير ثروتی است كه نامش محبت است

فرمول مجموع ارقام 1 تا 1 بیلیون
ساعت ٢:٠۱ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ٥ آبان ۱۳۸٩  

مجموع ارقام اعداد بین یک تا یک بیلیون

مجموع ارقام: 

آقای دکتر David Rock  از دانشگاه Columbus واقع در ایالت جورجا این مسئله را از راه بسیار زیبای زیر حل کرده اند:

اعداد صفر تا 999,999,999 را دو به دو، یکی از ابتدا و یکی از انتها، جفت نموده و مجموع ارقام هر جفت را تعیین میکنیم( تقریبا" شبیه به روشی که گاوس ریاضی دان و فیزیکدان آلمانی وقتیکه هنوز یک شاگرد دبستانی بود بکار برد تا حاصل جمع اعداد یک تا صد را که آموزگارش برای شاگردان تکلیف تعیین کرده بود بدست آورد، با این تفاوت مهم که گاوس با یک تصاعد حسابی سر و کار داشت ولی ما فقط ارقام را داریم که با هم جمع بکنیم )

                             0 و 999,999,999 :  مجموع ارقام این دو عدد میشود 81

                             1 و 999,999,998  : مجموع ارقام این دو عدد میشود 81

                             2 و 999,999,997 :  مجموع ارقام این دو عدد میشود 81

                              ..........................................................................

                               ..........................................................................

           499,999,999  و  500,000,000: مجموع ارقام این دو عدد میشود  81

همانطوریکه ملاحظه میکنید در بالا پانصد میلیون ردیف داریم و در هر ردیف دو عدد وجود دارد که مجموع ارقام آنها برابر 81 است پس جمع کل خواهد شد:     

                                                  40,500,000,000 = 500,000,000 *81

و اگر خود یک بیلیون را هم به حساب آوریم آنگاه جواب مسئله بدست می آید:

                                                         40,500,000,001

 انصافا" زیبا نیست؟

اینهم راه حل دیگری: در این راه حل،  از همان روشی استفاده شده است که در مسئله ی شماره 16 ( پارادوکس اعداد پنج دار ) بکار رفته. به این ترتیب که ابتدا یک عدد یک رقمی، مثلا" ۵ را در نظر میگیریم و بعد اینطور میگوییم که:  

از 0  تا  9  فقط یک پنج داریم، پس:                                                 تعداد پنج های موجود = 1

از 0  تا  99  بیست تا پنج داریم(با انگشت بشمارید)، پس:                     تعداد پنج های موجود = 20

از 0  تا  999  سیصد تا پنج داریم، پس:                                             تعدادپنج های موجود = 300

از 0  تا  9999  چهار هزار تا پنج داریم، پس:                                       تعداد پنج های موجود = 4000

ملاحظه میشود که تعداد پنج های موجود در هر مقطع از یک الگوی معین که به سادگی قابل تشخیص است پیروی میکند.مثلا" اینک بسادگی میتوانیم بگوییم که از 0 تا 99999 بایستی 50000 پنج وجود داشته باشد. اندکی محاسبه با قلم و کاغذ هم اینرا تایید میکند. به این ترتیب از 0 تا 999,999,999 باید نهصد میلیون (900,000,000) پنج وجود داشته باشد. طبعا" همینقدر هم شش وجود دارد، همینقدر هم هفت وجود دارد، الی آخر. پس مجموع همه ی این ارقام خواهد شد:

                              40,500,000,000 = (9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 )900,000,000

و باز اگر خود یک بیلیون را هم به حساب آوریم آنگاه جواب مسئله خواهد شد:

                                                               40,500,000,001

اینک برای استخراج یک فرمول کلی میتوانیم مجموع ارقام اعداد از 1 تا 10 و بعد از 1 تا 100 و بعد از 1 تا 1000 و چند تای دیگر را که آسان و عملی است بصورت گسترده بنویسیم و با مقایسه آنها با یکدیگر به دنبال یک الگو برای آنها بگردیم

مجموع ارقام اعداد 1 تا 10 برابر 46 است:                                100 * 1 * 45 + 1 = 46

مجموع ارقام اعداد 1 تا 100 برابر 901 است:                            101 * 2 * 45 + 1 = 901

مجموع ارقام اعداد 1 تا 1000 برابر 13501 است:                      102 * 3 * 45 + 1 = 13501

مجموع ارقام اعداد 1 تا 10000 برابر 180001 است:                  103 * 4 * 45 + 1 = 180001

با ادامه ی اینکار میتوان فرمول کلی زیر را برای مجموع ارقام اعداد صحیح بین 1 تا 10n نوشت:

                                   S = 1 + 45n*10n-1

لازم به تذکر است که در اصل مسئله، فرمول کلی خواسته نشده بود و لی اگر این حکم را به مسئله اضافه کنیم مسئله جالب تر خواهد شد.                                               S = 1 + 4.5n*10n                              

******************

 حال به نکته ی زیبای زیر که شاید تا کنون متوجه آن نشده بودید دقت فرمایید. ذکر این نکته نیز توسط آقای دیوید راک و در راه حلی که ایشان ارائه داده اند آمده است:

مجموع ارقام اعداد 1 تا 10 برابر 46 است، مجموع ارقام همین عدد چقدر است؟

مجموع ارقام اعداد 1 تا 100 برابر 901 است، مجموع ارقام همین عدد چقدر است؟

مجموع ارقام اعداد 1 تا 1000 برابر 13501 است، مجموع ارقام همین عدد چقدر است؟

مجموع ارقام اعداد 1 تا 10000 برابر 180001 است، مجموع ارقام همین عدد چقدر است؟

جواب همواره 10 است (جالب نیست؟)