Scientific Information

زندگي تكثير ثروتی است كه نامش محبت است

بسط تیلور
ساعت ۱:٠٦ ‎ب.ظ روز یکشنبه ٧ شهریور ۱۳۸٩  

بسط تیلور

sinx و بسط تیلور آن، تا توانهای 1, 3, 5, 7, 9, 11 و 13.

به وسیلهٔ بسط تیلور، می‌توان توابع بی‌نهایت بار مشتق پذیر را به صورت توابع توانی نوشت، و یا به عبارتی، بسط داد.

تعریف: اگر f در همسایگی x0 و \mid {x-x_0}\mid بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر باشد،آنگاه f را می‌توان به صورت توان‌هایی از (xx0) نوشت.

f(x)= f(x_0)+\frac{f'(x_0) (x-x_0)}{1!}+\frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\frac{f'''(x_0)(x-x_0)^3}{3!}+...


که در اینجا، fn(x) مشتق n-اُم تابع f است. این بسط به نام ریاضیدان انگلیسی بروک تیلور اسم‌گذاری شده است. متاسفانه، این بسط برای همهٔ توابع حقیقی انجام‌پذیر نیست.

مثال:

f(x) = e2x

در همسایگی 1- بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.

می‌توان گفت:


e^{2x}= \frac{(1)}{(e^2)}+\frac{(2)(x+1)}{(1!)(e^2)} +\frac{(2^2)(x+1)^2}{(2!)(e^2)}+\frac{(2^3)(x+1)^3}{(3!)(e^2)}+...

e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(2)^{(n)}}{((n)! e^2)} (x+1)^{n}

همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد .

حالت خاص سری تیلور که در حول نقطه 0 می‌باشد را سری مکلورن می‌گویند.