Scientific Information

زندگي تكثير ثروتی است كه نامش محبت است

خبرسازترین پدیده های فضایی و نجومی سال 2010
ساعت ۱٢:٤٤ ‎ق.ظ روز شنبه ٢٧ فروردین ۱۳٩٠  

سال 2010 با کشف بسیاری از سیاره های فراخورشیدی، مشاهده بیگانه های فضایی، ابرنواخترها، پدیده های اختری، پرتاب راکتها، علوم مرتبط با کره ماه و سوالات متحول کننده درباره علم نجوم برای جهان علم سالی پر هیاهو و شلوغ به شمار می رود.

نشریه دیسکاوری به منظور انتخاب برترین و خبرسازترین خبرهایی که در سال رو به پایان میلادی در حوزه علم نجوم رخ داده است به خوانندگان خود روی آورده و 10 نمونه از خبرسازترین رویدادهای نجومی را بر اساس انتخاب خوانندگان خود به عنوان برترین و خبرسازترین رویدادهای نجومی سال 2010 معرفی کرده است:

10- رویای اوباما برای آینده مطالعات فضایی ناسا: متوقف شدن پروژه "صورت فلکی" ناسا برای بازگشت دوباره انسان به کره ماه و تغییر جهت برنامه های فضایی ناسا به طور قطع یکی از بحث برانگیزترین رویدادهای فضایی و نجومی سال جاری بوده است. از زمانی که اوباما در بیانیه ماه فوریه خود برنامه پرتاب راکت آرس را متوقف و برنامه ساخت فضاپیمای اوریون را محدودتر کرد، بحثهای داغی در مجلس آمریکا بر سر این تصمیمات دولت آمریکا در گرفت.

در ماه آوریل طی سخنرانی اوباما در پایگاه فضایی کندی مسیر فعالیتهای علمی-فضایی ناسا برای همیشه تغییر کرد: "فضانوردان باید تا سال 2025 خود را به یک اخترواره برسانند، از ماه عبور کرده و در حدود سال 2030 به مریخ بروند" که این برنامه خبرهای خوبی را نیز برای پروازهای فضایی تجاری در پی داشت. اما در عین حال این برنامه ریزی های جدید برای منتقدان سیاستهای اوباما به هیچ وجه قابل هضم نبوده است.

9- سیستمهای ستاره ای ناشناخته شگفت انگیز: سال 2010 برای مطالعات سیاره های فراخورشیدی سالی بسیار پربار بوده است. در عین حال که در این سال بیش از صدها سیاره جدید بر مدار ستاره های جدید توسط رصدخانه های زمینی و فضایی ردیابی، مشاهده و مطالعه شدند، آشکار شد که انسان از تکنیکهایی با پیچیدگی هایی فزاینده برای مطالعه این پدیده ها برخوردار است. اکنون با استفاده از همین شیوه های مطالعاتی در صورتی که بتوان با قطعیت جمله ای را درباره جهانهای بیگانه گفت، این است که این جهانها در عین حال که بیگانه اند، شباهتهای بسیار زیادی با سامانه خورشیدی زمین دارند.

8- موفقیت هایابوسا در نمونه برداری از یک اخترواره: یکی از الهام بخش ترین موفقیتهای فضایی سال 2010 بدون شک موفقیت ژاپنی ها و فضاپیمای هایابوسا در نمونه برداری از خاک اخترواره "ایتوکاوا" بوده است. این موفقیت در سال 2005 و به شکلی معجزه آسا رخ داد زیرا در سال 2003 هایابوسا در اثر برخورد یک پرتو خورشیدی دچار آسیب دیدگی شد و پس از آن با تلاش فراوان توانست پس از نمونه برداری از خاک ایتوکاوا مسیر خود را به سوی زمین کج کند.

تردیدهای زیادی درباره موفقیت این فضاپیما در نمونه برداری از خاک ایتوکاوا وجود داشت اما پس از بازگشت بی نظیر این فضاپیما به خانه اش زمین، محققان توانستند ذرات خاک را در کپسول نمونه های این فضاپیما کشف کنند. نمونه هایی که می توانند در درک بهتر از طبیعت سامانه خورشیدی بسیار تاثیرگذار باشند.

7- موفقیت شرکت "ویرجین گلکتیک" در پرواز اولین فضاپیمای تجاری: روند پیشرفت توریسم فضایی بسیار کند، اما در حال پیشرفت است. با وجود اینکه توریستهای فضایی تا کنون میلیونها دلار برای سفر به ایستگاه فضایی بین المللی خرج کرده اند، ویرجین گلکتیک برای قابل دسترس تر شدن سفرهای فضایی تلاشهای گسترده ای را آغاز کرده است.

به گفته این شرکت 200 هزار دلار برای خریداری یک بلیط برای سفر به فضا قیمتی کاملا قابل قبول به شمار می رود حتی اگر این سفر تنها پروازی زیر مداری باشد، با این همه آغاز خوبی برای توریسم فضایی به شمار می رود. در سال 2010 این شرکت توانست فضاپیمای خود موسوم به "شوالیه شب" را به صورت آزمایشی به پرواز درآورد و در عین حال ساخت اولین پایگاه فضایی در صحرای نیومکزیکو نیز آغاز شده است.

6- کشف شواهد آب مایع در قمر انسلادوس: کشف آب بر روی مریخ را فراموش کنید، این موضوع سال گذشته بود، موضوع داغ سال 2010 کشف آب در قمر انسلادوس سیاره زحل است. فضاپیمای کاسینی ناسا طی یکی از قابل تقدیرترین ماموریتهای خود به شگفت زده کردن زمینیان ادامه داده و تصاویر زیبایی را از سیستم زحلی به ثبت رساند. این فضاپیما از سال 2004 در مدار زحل در حرکت است و با عبور از کنار قمرهای این سیاره جزئیات ارزشمندی را از این سیاره مهم به ثبت رسانده است.

یکی از قابل توجه ترین کشفیات کاسینی در سفر زحلی اش در پرواز از نزدیکی به دست آمد که در نزدیکی قمر انسلادوس صورت گرفت. کاسینی به گونه ای با بو کشیدن مواد گازی شکلی که این قمر را احاطه کرده اند توانست مدارکی را مبنی بر وجود آب مایع در سطح این قمر ارائه کند و هر جا که آب باشد، احتمال شکل گیری حیات نیز وجود خواهد داشت. از این رو این کشف کاسینی محدوده احتمالات بشر را درباره جهانهایی که شانس وجود حیات در آنها وجود دارد را افزایش داد.

5- آیا در ماه آب وجود دارد؟ با وجود اینکه برنامه فوری برای بازگشت انسان به ماه وجود ندارد، ماموریتهای روباتیکی که از سوی کشورهای مختلف در اطراف این کره صورت می گیرد بسیار امیدوار کننده هستند. برای مثال مدارگرد اکتشافی ماه به چرخش به دور تنها قمر طبیعی زمین ادامه داده و اطلاعات زیادی را درباره مناظر بیگانه این کره در اختیار انسانها قرار می دهد.

یکی از دستاوردهای مهم این مدارگرد کشف مقادیر زیادی آب منجمد در اعماق حفره های تاریک ماه و در بیشتر بخشهای این کره بود حجم این آب به اندازه ای است که دانشمندان اکنون به راحتی درباره وجود چرخه آب در کره ماه با یکدیگر بحث می کنند. از سویی دیگر اطلاعات به دست آمده از ماهگرد چاندرایان هندوستان در سال 2010 نشان داد بیش از 600 میلیون گالن آب در 40 حفره در کره ماه وجود دارد. این مقدار آب با نیاز مصرف آب کل شهر سیاتل برای یک سال برابری می کند.

4- پرواز فالکن 9: شرکت تجاری Space X در سال 2010 به قدرت زیادی دست پیدا کرد و توانست علاوه بر ارائه مدل آزمایشی راکت فالکن 1، پرواز آزمایشی راکت فالکن 9 را نیز با موفقیت به پایان برساند. اکنون با تایید دولت اوباما این شرکت یکی از معدود شرکتهایی است که برای تامین تجهیزات مورد نیاز ایستگاه فضایی بین المللی پس از بازنشسته شدن شاتلهای ناسا انتخاب شده است. این شرکت در ماه دسامبر اولین پرتاب موفقیت آمیز و بازگشت دوباره کپسول "دراگون" را به اجرا گذاشت، کپسولی که امید می رود روزی بتواند انسانها را به همراه خود به فضا ببرد. قدم بعدی کناره گرفتن این کپسول با ایستگاه فضایی است تا با این موفقیت حفره میان اکتشافات فضایی دولتی و خصوصی پر شود.

3- به دام افتادن ضد ماده: دانشمندان سازمان مطالعات اتمی اروپا، سرن توانستند برای اولین بار ضد ماده را به دام بیاندازند. اهمیت این موفقیت در این نکته است که بخشی از بنیادی ترین رازهای جهان هستی را می توان با کمک این ذرات درک کرده و به بسیاری از سوالات درباره تکامل جهان هستی و حیات پاسخ داد. فرضیه ای که از ابتدا درباره ماده و ضد ماده و برابری مقادیر این دو در جهان وجود دارد، دچار نقصی کوچک است زیرا در صورتی که مقدار این دو در جهان برابر باشد، یکدیگر را نابود کرده و در این صورت ما نباید در جهان وجود داشته باشیم!

به دام انداختن ذرات ضد ماده هیدروژن در یکی از آزمایشهایی که در سرن با نام آلفا صورت گرفت به این معنی است که فیزیکدانان از این پس می توانند به درون ضد ماده رسوخ کرده و رفتارهای آن را مورد مطالعه قرار دهند. این ذرات ظاهری مشابه با ماده دارند اما عملکرد آنها کاملا متضاد ماده است.

2- سیاره های شبه زمینی فراوانتر از همیشه؟: سیاره های فراخورشیدی را می توان در هرجایی از کهکشانها یافت، اما بر اساس مطالعات متعددی که در سال 2010  صورت گرفته اند، اکثریت جهانهایی که در مدار دیگر ستاره ها در حرکتند، لزوما به زمین شباهتی ندارند. شاید در سال جاری عبارت سیاره شبه زمینی را زیاد شنیده باشید اما به گفته بسیاری از منتقدان این عبارت نمایش واقعیت گرایانه آنچه در اصل کشف شده نیست، در صورتی که سیاره کشف شده آبی رنگ با دمایی معتدل نباشد چطور می توان آن را سیاره ای شبه زمینی خواند؟

1- کشف سیاره شبه زمینی گیلیس 581g : قبل از سال 2010 نام گیلیس بیشتر شما را به یاد نام یک بازی جدید رایانه ای و یا یکی از نرم افزارهای جدید آی-فن می انداخت، اما اکنون این نام یکی از مشهورترین سامانه های ستاره ای در آنسوی سامانه خورشیدی است.

گیلیس 581 بسیار امیدوارکننده است، می تواند میزبان سیاره ای باشد که در آن شانس شکل گرفتن حیات وجود داشته باشد و سیاره گیلیس 581g همان سیاره ای است که در بخش قابل سکونت این سامانه ستاره ای می تواند حیات یا زمینه های شکل گرفتن حیات را در خود پنهان کرده باشد.

اما مانند هر داستان خوب دیگری، گره ای در این داستان وجود دارد، شاید هیچ گیلیس 581g وجود نداشته باشد! داستان کشف این سیاره در سال 2010 جنجال فراوانی به دنبال داشت و از این رو اکنون در رتبه اول برترینهای فضایی سال 2010 قرار گرفته است.


اتصال اتاقکهای بادی به ایستگاه فضایی
ساعت ۱٢:٤٢ ‎ق.ظ روز شنبه ٢٧ فروردین ۱۳٩٠  

ناسا در حال حاضر با این شرکت در مذاکره است تا بتواند به اتاقکهای قابل توسعه که به BEAM شهرت دارند دست پیدا کند تا بتوان به این شکل میزان کارایی ایستگاه فضایی را بهبود بخشید.

از سال 1999 تا به حال این شرکت در تلاش بوده است تا اتاقهای بادی متناسبی برای سرنشینی فضانوردان ناسا و دیگر سرنشیان فراهم آورد. شرکت بیگلو در سالهای 2006 تا 2007 نمونه آزمایشی مدارگردی به نام جنسیس 1 و جنسیس 2 را ارائه کرد.

ناسا امیدوار است با کمک طرح های این شرکت بتواند با صرف کمترین هزینه بیشترین میزان مصرف از فضاهای ایستگاه بین المللی را داشته باشد. این شرکت به تازگی ساخت، مطالعه و بررسی بر روی بزرگترین اتاق بادی فضایی را آغاز کرده است.  

ناسا برای پرتاب این اتاقکها از موشکهای بخش خصوصی خود استفاده خواهد کرد. اولین و پیش پا افتاده ترین کاربرد این اتاقها مرتفع کردن نیاز به استفاده حداکثر از فضای ایستگاه است.

بر اساس گزارش فاکس نیوز، فایده دوم اتاقکهای بادی BEAM در ایستگاه فضایی  بهبود پیدا کردن موقعیت لوجستیکی ایستگاه است. به گفته فضانوردان این فرصتی شگفت انگیز برای ناسا و بخش تجاری خواهد بود که با مشارکت یکدیگر در ساختار ایستگاه فضایی بهبود ایجاد کنند.


زیباترین تصاویر نجومی هفته
ساعت ۱٢:۳٩ ‎ق.ظ روز شنبه ٢٧ فروردین ۱۳٩٠  

جزایر رویایی، گرد و غبار کیهانی و مریخ لاجوردی از جمله زیباترین تصاویر نجومی است که مجله نشنال جغرافی دسته بندی و منتشر کرده است.

سیاهرگهای فیروزه ای
 
این تصویر را که ناسا منتشر کرده عکسی است که از ایستگاه فضایی بین المللی گرفته شده است. در این تصویر سیاهرگهای فیروزه ای جریانهای آبی عمیق در باهاماس دیده می شود. حدود 700 جزیره کوچک بخشی از رسوبات رسی کرانه های بزرگ و کوچک باهاماس را تشکیل می دهند.
 
 
مریخ لاجوردی
 
ماهوتهای لاجوردی بر روی یک پس زمینه مایل به سرخ مریخ ثمره تصویری است که کاوشگر مریخ گرد Mars Reconnaissance Orbiter ناسا در رنگهای جعلی گرفته است. این رنگ لاجوردی تمرکز ذرات گرد و غبار معلق در هوای مریخ را نشان می دهد.
 
در حالی زمستان مریخ به پایان خود نزدیک می شود لایه های عمیق تر فصلی دی اکسید کربن منجمد شروع به بخار شدن می کنند و گازهایی که از لایه های یخی خارج می شوند به سطح می آیند. ذرات سنگین تر در جهت بادهای سطحی نوعی حرکت گردابی را ایجاد می کنند در حالی که ذرات سبکتر به صورت معلق باقی می مانند.
 
 
سحابی مرداب
 
یک جریان تاریک از ذرات گرد و غبار از طریق گازهای نورانی سحابی مرداب در فاصله حدود 5 هزار سال نوری از زمین عبور می کند. این تصویر را تلسکوپ "ویستا" در رصدخانه جنوبی اروپا در شیلی (اسو) گرفته است. هدف از تهیه این عکس ایجاد دقیق ترین نقشه ممکن از منطقه مرکزی راه شیری است.
 
از آنجا گرد و غبار در نور مرئی دیده نمی شوند ستاره شناسان برای رویت اجرام آسمانی در طیف مادون قرمز مطالعات خود را انجام می دهند. برای مثال در سحابی مرداب، تصاویر مادون قرمز در پنج سال گذشته انفجار تولد ستارگان جدید را نشان داده است. 
 
 
گرداب سوزان
 
کهکشان آندرومدا همانند یک گرداب آتش در تازه ترین عکسی که از این کهکشان که همچنین با عنوان "مسیه 31" نیز شناخته می شود به نمایش درآمده است. این دقیقترین تصویری است که تاکنون از کهکشان همسایه گرفته شده است. این تصویر را تلسکوپ فضایی هرشل آژانس فضایی اروپا در طیف مادون قرمز گرفته است.
 
هرشل در طیف مادون قرمز حداقل پنج حلقه را که از گرد و غبارهای نسبتا سرد تشکیل شده اند نشان می دهد. در این حلقه ها ستارگان آندرومدا می توانند تشکیل شوند. یکی از این حلقه ها که در مرکز کهکشان می چرخد می تواند در طول برخورد اخیری که آندرومدا با کهکشان دیگری داشته است تشکیل شده باشد.
 
 
ایستگاه فضایی بین المللی در مقابل کسوف
 
نترسید! این شیء کوچکی که از مقابل خورشید در طول خورشیدگرفتگی هفته گذشته عبور می کند فضاپیمای بیگانگان فضایی جنگهای ستاره ای نیست بلکه ایستگاه فضایی بین المللی است.
 
در این عکس که در عمان گرفته شده است خورشید در فاصله 150 میلیون کیلومتری از زمین، ماه در فاصله 400 هزار کیلومتری و ایستگاه فضایی در فاصله 400 کیلومتری قرار دارد.
 
 
خورشیدگرفتگی در دود
 
به گزارش مهر،‌ دودهای یک دودکش در "نووسیبریسک" در روسیه که خورشیدگرفتگی جزئی 4 ژانویه 2011 را تاریک می کند. این خورشیدگرفتگی در بخش وسیعی از اروپا، شمال آفریقا، خاورمیانه و آسیای مرکزی دیده شد.
 

نزدیکترین تصاویر منظومه خورشیدی/ شب بخیر خورشید به مریخ
ساعت ۱٢:۳٦ ‎ق.ظ روز شنبه ٢٧ فروردین ۱۳٩٠  

این تصاویر را کاوشگرهای اسا و ناسا در 5 سال اخیر تهیه کرده اند. این تصاویر را "رصدخانه سلطنتی لندن" با هدف وارد کردن آنها به رقابتهای عکاس نجومی سال 2011 منتشر کرده است.

قمر دیون در میان سایه های حلقه زحل- دیون در حدود هزار و 123 کیلومتر قطر دارد و در فاصله 377 هزار کیلومتری از سیاره غول پیکر زحل حرکت می کند

حفره استیکنی بر روی فوبوس که بزرگترین قمر مریخ است

شب بخیر مریخ- تصویری شگفت انگیز از غروب خورشید در افق مریخ- این عکس را روبات کاوشگر مریخ نورد "روح" (اسپیریت) در سال 2005 گرفته است

لکه بزرگ قرمز رنگ بر روی سیاره مشتری- این عکس را کاوشگر ویاجر 2 گرفته است. این لکه بزرگ سرخ رنگ، درواقع توفانی در ابعاد زمین است

میماس، قمر زحل- این تصویر را کاوشگر کاسینی گرفته است. کاسینی در سال 1997 برای رصد زحل و قمرهایش پرتاب شد


زمین دیگر
ساعت ۱٢:٢٩ ‎ق.ظ روز شنبه ٢٧ فروردین ۱۳٩٠  

اخترشناسان به کمک تلسکوپ فضایی کپلر موفق شده‌اند شش سیاره سنگی و گازی را در اطراف ستاره‌ای خورشیدمانند کشف کنند. این منظومه که کپلر11 نام گرفته، دوهزار سال‌نوری از زمین فاصله دارد.

http://khabar.khabaronline.ir/images/position28/2011/2/kepler11system-small.jpg

جک لیساور، دانشمند سیاره‌شناس و عضو گروه علمی تلسکوپ فضایی کپلر در مرکز تحقیقات فضایی امیز ناسا در گفتگو با بخش خبری ناسا گفت: «منظومه سیاره‌ای کپلر11 بسیار هیجان‌انگیز است. هم به‌شکل جالبی جمع‌وجور است، هم تخت است (همه سیارات شبیه به منظومه‌شمسی در یک صفحه دوران می‌کنند) و از همه جالب‌تر اینکه تعداد زیادی از سیارات غول‌پیکر در فاصله نزدیکی از ستاره خود دوران می‌کنند. ما اصلا فکرش را هم نمی‌کردیم که چنین منظومه‌ای بتواند وجود داشته باشد».

به عبارت دقیق‌تر، کپلر11 کامل‌ترین و فشرده‌ترین منظومه سیاره‌ای شناخته شده پس از منظومه‌شمسی است.

لیساور ادامه داد: «تاکنون ستارگان معدودی را شناخته‌ایم که یک سیاره از مقابلشان عبور کند، ولی کپلر11 اولین منظومه‌ای است که بیش از 3 سیاره آن از مقابل قرص ستاره مرکزی عبور می‌کنند. مطمئنا خیلی کمتر از 1درصد از ستارگان کهکشان دارای منظومه‌هایی شبیه به کپلر11 هستند، اما مشخص نیست که این نسبت یک در هزار، یک در ده‌هزار و یا یک در میلیون باشد. دلیلش هم این است که این منظومه فعلا تنها منظومه در نوع خود است».

تمام سیاراتی که به‌دور ستاره کپلر11 دوران می‌کنند، از زمین بزرگ‌ترند و بزرگ‌ترین آن‌ها در ابعاد اورانوس یا نپتون (با قطر 4 برابر زمین است. نزدیک‌ترین این سیارات، کپلر11ب ده‌برابر از زمین به خورشید نزدیک‌تر است و در فاصله 15 میلیون کیلومتری دوران می‌کند و خارجی‌ترین آن‌ها، کپلر11جی در نصف فاصله زمین از خورشید یعنی 75 میلیون‌کیلومتری دوران می‌کند. پنج سیاره اول بین 10 تا 47 روز طول می‌کشد تا یک بار به دور ستاره‌شان بگردند و این زمان برای دورترین سیاره 118 روز طول می‌کشد.

بدین ترتیب در مقایسه با منظومه شمسی، پنج‌سیاره از این منظومه از سیاره عطارد نیز به ستاره‌شان نزدیک‌ترند و سیاره ششم در فاصله بین مدار سیارات عطارد و ناهید جای می‌گیرد.

اندازه‌گیری‌های دقیق‌تر نشان می‌دهد این سیارات جزو کوچک‌ترین سیارات فراخورشیدی کشف‌شده دسته‌بندی می‌شوند. این سیارات ترکیبی از سنگ و گاز هستند؛ بیشتر جرم آن‌ها را هسته سنگی تشکیل می‌دهد، اما بیشتر حجم سیاره مربوط به مواد گازی است.

هرچند زمان زیادی از کشف این منظومه سیاره‌ای نگذشته، اما دانشمندان احتمال می‌دهند با مطالعات دقیق‌تر و طولانی‌تر بتوان سیاره هفتم و شاید سیارات دیگری را در فواصل دورتر از این ستاره کشف کنند. البته فاصله سیارات تازه‌کشف‌شده تا ستاره مرکزی به‌قدری نزدیک است که بعید به‌نظر می‌رسد این سیارات توانایی میزبانی از حیات را داشته باشند».


اعداد اول و تابع اویلراعداد اول و تابع اویلر
ساعت ٢:٠٢ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ۱٧ فروردین ۱۳٩٠  

چند عدد صحیح مثبت کوچکتر از 301 وجود دارد که نسبت به اعداد 75 و 60 اول باشند؟


ابتدا دو عدد 60 و 75 را تجزیه می کنیم

                                                    60 = 22*3*5  ,  75 = 3*52

از میان این سیصد عدد اعدادی که نباید بر 2 و 3 و 5 قابل قسمت باشند را می یابیم

تعداد اعدادی که بر 2 و 3 و 5 بخش پذیرند :

                          [300/2]=150  ,  [300/3]=100  ,  [300/5]=60

و تعداد اعدادی که بر 6,10,15,30 بخش پذیرند :

         [300/6]=50 , [300/10]=30 , [300/15]=20 , [300/30]=20

کل تعداد اعدادی که بر 2 یا 3 یا 5 بخش پذیرند

                            n' = 150+100+60 - 50 -30 - 20 +20 = 220

و در انتها تعداد اعدادی که نسبت به 75 و 60 اولند برابر است با

                                                              n = 300 - 220 = 80

 راه حل دوم

از آنجاییکه 300 نیز فقط بر اعداد اول 2 و 3 و 5 بخش پذیر است بنابراین طبق تابع حسابی اویلر تعداد اعداد کوچکتر از 300 که نسبت به آن اولند برابر است با

                    n = p(300) = 300(1 - 1/2)(1 - 1/3)(1 - 1/5) = 80


مشتق تابع معکوس مثلثاتی و معادله مثلثاتی
ساعت ٢:٠۱ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ۱٧ فروردین ۱۳٩٠  

اگر (f(x) = arcsin(2x -1) - 2arcsin(rootx باشد مقدار (f'(x) - f(x را بیابید.


 اگر فرض کنیم (b = arcsin(2x -1 آنگاه  sinb = 2x -1    

و دوباره اگر فرض کنیم (a = arcsin(rootx آنگاه  sina = rootx

بنابراین
                       x = sin
2a , 2x = 1+sinb  -->  1+sinb = 2sin2
a

و یا
                                       sinb = 2sin
2
a -1 --> sinb = - cos2a

و یا
                                 (cos2a = - sinb = sin(-b) = cos(pi/2 +b

و از حل این معادله نتیجه می شود

                                            2a = pi/2 +b  --> 2a - b = pi/2

اما b - 2a همان تابع f است. بنابراین

                      f(x) = - pi/2  --> f'(x) = 0 --> f'(x) - f(x) = pi/2


همنهشتی و رقم یکان
ساعت ۱:٥٩ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ۱٧ فروردین ۱۳٩٠  

اگر  !A = 2!+3!+...+1381  و  !B = 3!+4!+...+1382  باشد

رقم یکان B - A)A+B) چیست؟


اولا"
                                               B - A = 1382! - 2! = 1382! - 2

اما میدانیم عدد !1382 چندین صفر در سمت راست دارد.

بنابراین B - A با 2 - به پیمانه 10 همنهشت است.

اما توانهای متوالی عدد 2 دارای یکان 2 و 4 و 8 و 6 هستند.

و به همین ترتیب A+B برابر است با

                    (...+ A+B = 2!+2.3!+2.4!+ ... = 2(1+6+24+120

از رابطه بالا دیده می شود که A+B با 2 به پیمانه 4 همنهشت است.

بنابراین عدد B - A به توان عددی به صورت 4k+2 خواهد رسید.

بنابراین رقم یکان حاصل کل برابر 4 خواهد بود.


دامنه تعریف ترکیب توابع
ساعت ۱:٥۸ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ۱٧ فروردین ۱۳٩٠  

اگر (f(x) = root(1- x و (g(x) = root(x - rootx باشد تابع gof در نقطه x=1 از نظر پیوستگی چگونه است؟


ابتدا دامنه تعریف f را تعیین می کنیم

                                                     Df : 1- x >= 0 --> x =<1

سپس دامنه تعریف g را

                                           Dg : x - rootx >= 0  -->  x >= 1

و برد تابع f باید در دامنه تعریف g صدق کند.

اگر x از طرف راست به 1 نزدیک شود یعنی بزرگتراز یک باشد در Df صدق نمی کند

بنابراین gof در این ناحیه جواب ندارد. پس gof از راست پیوسته نیست.

اگر x از سمت چپ به 1 نزدیک شود یعنی کوچکتر از یک باشد مقدار تابع f حدودا" برابر صفر شده که در دامنه تعریف g صدق نمی کند.

بنابراین gof در این ناحیه نیز جواب نداشته و از سمت چپ نیز پیوسته نیست.


معادله سیاله خطی و مربع عدد مضرب 3
ساعت ۱:٥٦ ‎ب.ظ روز چهارشنبه ۱٧ فروردین ۱۳٩٠  

معادله  3x+6y = a2+2 به ازاء چند مقدار a  از مجموعه {20,...1,2,3} جواب دارد؟

نکته اول :معادله سیاله خطی فوق وقتی جواب دارد که بزرگترین مقسوم علیه مشترک 3 و 6 عدد a2+2 را بشمارد.

بنابراین
                           M = (3,6) = 3  -->  3|a
2+2  -->  a2
+2 = 3k

و یا
                                                  a
2 = 3k - 2  -->  a2
= 3k+1

 بنابراین مربع عدد مورد نظر از میان این بیست عدد باید به شکل 3k+1 باشد.

نکته دوم : مربع هر عدد غیر مضرب 3 به شکل 3k+1 است.

اثبات

                                       if  a=3k  -->  a2 = 9k2  -->  a2 = 3k

                            if  a=3k+1 --> a2=9k2+6k+1 --> a2=3k+1

                          if  a=3k+2 --> a2=9k2+12k+4 --> a2=3k+1

بنابراین از آنجاییکه از این بیست عدد [20/3]=6 تا مضرب 3 هستند جواب مورد نظر 14 عدد است.